JAC Class 10 Maths Exercise 1.1 Real Numbers Solution
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| Class: 10 | Mathematics |
| Chapter: 1 | Real Numbers |
| Content: | JCERT Books Exercises & Extra Questions |
| Publisher: | 𝗔𝗹𝗮𝗺 𝗦𝗼𝗹𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻 |
अध्याय – 01
वास्तविक संख्याएँ
( Real Numbers )
प्रश्नावली 1.1 → 03
प्रश्नावली 1.2 → 01 या 02
प्रश्नावली 1.3 → 04 या 03
प्रश्नावली 1.4 → 01
01+02+03 = 06 Marks
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म :-
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF परिकलित करने की एक तकनीक है।
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
प्रश्नावली 1.1
1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।
(i) 135 और 225
Solution :- 135 से 225 को भाग देने पर,
135 ) 225 ( 1
-135
----
90 ) 135 ( 1
-90
---
45 ) 90 ( 2
-90
---
0यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
चरण I, 225 = 135×1+90
चरण II, 135 = 90×1+45
चरण III, 90 = 45×2+0
अतः HCF = 45 Answer.
(ii) 196 और 38220
Solution:- 196 को 38220 को भाग देने पर,
196 ) 38220 ( 195
-196
----
1862
-1764
-----
980
-980
----
0यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
चरण I, 38220 = 196×195+0
अतः, HCF = 196 Answer.
(iii) 867 और 255
Solution:- 255 से 867 को भाग देने पर,
255 ) 867 ( 3
-765
----
102 ) 255 ( 2
-204
----
51 ) 102 ( 2
-102
----
0यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
चरण I, 867 = 255×3+102
चरण II, 255 = 102×2+51
चरण III, 102 = 51×2+0
अतः, HCF = 51 Answer.
2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1, 6q+3 या 6𝑞+5 के रूप का होता है, जहाँ 𝑞 कोई पूर्णांक है।
Solution :- माना कि,
भाज्य = a
भाजक = b = 6
भागफल = q
शेषफल = r
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से,
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
a = b × q + r
a = 6q + r
जहाँ,
r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
a₀ = 6q + 0 (समपूर्णांक)
a₁ = 6q + 1 (असमपूर्णांक)
a₂ = 6q + 2 (समपूर्णांक)
a₃ = 6q + 3 (असमपूर्णांक)
a₄ = 6q + 4 (समपूर्णांक)
a₅ = 6q + 5 (असमपूर्णांक)
अतः,
6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 विषम पूर्णांक के रूप में हो सकते हैं। Proved.
3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
Solution :-
सदस्यों की संख्या = 616
एक समूह में संख्या = 32
32 से 616 को भाग देने पर,
32) 616 (19
-32
---
296
-288
----
8) 32 (4
-32
---
0यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
चरण I, 616 = 32 × 19 + 8
चरण II, 32 = 8 × 4 + 0
∴ समूहों की संख्या (HCF) = 8 Answer.
4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
[ संकेत: यह मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है ]
Solution :- माना कि,
x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यह 3q या 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में हो सकता है।
चरण I, (3q)² = 9q²
= 3 × 3q²
= 3m (जहाँ m = 3q²)
चरण II. (3q + 1)²
= (3q)² + (1)² + 2 × 3q × 1
= 9q² + 1 + 6q
= 3(3q² + 2q) + 1
= 3m + 1 (जहाँ m = (3q² + 2q))
चरण III. (3q + 2)²
= (3q)² + (2)² + 2 × 3q × 2
= 9q² + 4 + 12q
= 3 × 3q² + 3 × 4q + 3 + 1
= 3(3q² + 4q + 1) + 1
= 3m + 1 (जहाँ m = 3q² + 4q + 1) Proved.
5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
Solution :- माना कि,
x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यह 3q या 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में हो सकता है।
चरण I. (3q)³
= 27q³
= 9 × 3q³
= 9m (जहाँ m = 3q³)
चरण II. (3q + 1)³
= (3q)³ + (1)³ + 3 × (3q)² × 1 + 3 × 3q × (1)²
= 27q³ + 1 + 3 × 9q² + 9q
= 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9 × 3q³ + 9 × 3q² + 9q + 1
= 9(3q³ + 3q² + q) + 1
= 9m + 1 (जहाँ m = 3q³ + 3q² + q)
चरण III. (3q + 2)³
= (3q)³ + (2)³ + 3 × (3q)² × 2 + 3 × 3q × (2)²
= 27q³ + 8 + 3 × 9q² × 2 + 9q × 4
= 27q³ + 8 + 54q² + 36q
= 27q³ + 54q² + 36q + 8
= 9 × 3q³ + 9 × 6q² + 9 × 4q + 8
= 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8
= 9m + 8 (जहाँ m = 3q³ + 6q² + 4q) Proved.
उदाहरण ( Examples )
Que. 455 और 42 का HCF ज्ञात करें ?
Solution :- 42 से 455 को भाग देने पर,
42 ) 455 ( 10
-420
-------
35 ) 42 ( 1
-35
-------
7 ) 35 ( 5
-35
----
0 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
चरण I, 455 = 42 X 10 + 35
चरण II, 42 = 35 x 1 + 7
चरण III, 35 = 7 x 5 + 0
अतः HCF = 7 Answer.
Que. 4052 और 12576 का HCF यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए।
Solution :- 4052 से 12576 को भाग देने पर,
4052)12576(3
-12156
-------
420)4052(9
-3780
-------
272)420(1
-272
----
148)272(1
-148
----
124 ) 148 ( 1
-124
----
24 ) 124 ( 5
-120
----
4 ) 24 ( 6
-24
---
0
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
चरण I, 12576 = 4052 x 3 + 420
चरण II, 4052 = 420 x 9 + 272
चरण III, 420 = 272 x 1 + 148
चरण IV, 272 = 148 x 1 + 124
चरण V, 148 = 124 x 1 + 24
चरण VI, 124 = 24 x 5 + 4
चरण VII, 24 = 4 x 6 + 0
अतः HCF = 4 Answer.
Que. दर्शाइए कि धनात्मक विषम पूर्णांक 4q + 1 या 4q + 3 के रूप का होता है, जहाँ q एक पूर्णांक है।
Solution :- माना कि,
भाज्य= a
भाजक = b = 4
भागफल = q
शेषफल = r
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से,
भाज्य= भाजक × भागफल + शेषफल
a = b × q + r
a = 4q + r
जहाँ,
r = 0, 1, 2, 3
a₀ = 4q + 0 (समपूर्णांक)
a₁ = 4q + 1 (विषम पूर्णांक)
a₂ = 4q + 2 (समपूर्णांक)
a₃ = 4q + 3 (विषम पूर्णांक)
अतः,
4q + 1 या 4q + 3 विषम पूर्णांक के रूप में हो सकते हैं। Proved.
Que. दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक समपूर्णांक 2q के रूप का होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषमपूर्णांक 2q + 1 के रूप का होता है।
Solution :- माना कि,
भाज्य = a
भाजक = b = 2
भागफल = q
शेषफल = r
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
a = b × q + r
a = 2 q + r
जहाँ, r = 0, 1
aᵣ = 2q + r (समपूर्णांक)
a₀ = 2q + 0 (समपूर्णांक)
a₁ = 2q + 1 (विषमपूर्णांक)
अतः,
2q एक धनात्मक समपूर्णांक और 2q + 1 धनात्मक विषमपूर्णांक के रूप में ही हो सकते हैं। Proved.
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