JAC Class 10 Maths Exercise 1.2 Real Numbers Solution

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Class: 10	Mathematics
Chapter: 1	Real Numbers
Content:	JCERT Books Exercises & Extra Questions
Publisher:	𝗔𝗹𝗮𝗺 𝗦𝗼𝗹𝘂𝘁𝗶𝗼𝗻

Main formulas :-

★ दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

★ HCF (x, y) = n = संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ
अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी
घात का गुणनफल

★ LCM (x, y) = m = संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ
अभाज्य गुणनखंड की सबसे
बड़ी घात का गुणनफल

★ LCM (x, y) =
दो संख्याओं का गुणनफल (x × y)
——————————
HCF (x, y)

★ HCF (x, y) =
दो संख्याओं का गुणनफल (x × y)
——————————
LCM (x, y)

प्रश्नावली 1.2

1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :

(i) 140

Solution :- 140

 2 | 140 
---|--------
 2 | 70 
---|--------
 5 | 35 
---|--------
 7 |  7 
---|--------
      1

∴ 140 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 5 × 7
= 2² × 5 × 7 Ans.

(ii) 156

Solution :- 156

 2 | 156 
---|--------
 2 | 78 
---|--------
 3 | 39 
---|--------
13 |  13 
---|--------
      1

156 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 13
= 2² × 3 × 13 Ans.

(iii) 3825

Solution :- 3825

 3 | 3825 
---|--------
 3 | 1225 
---|--------
 5 |  425 
---|--------
 5 |  85 
---|--------
17 |  17
---|--------
      1

3825 का अभाज्य गुणनखंड = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
= 3² × 5² × 17 Ans.

(iv) 5005

Solution :- 5005

 5 | 5005 
---|--------
 7 | 1001 
---|--------
11 | 143 
---|--------
13 |  13 
---|--------
      1

5005 का अभाज्य गुणनखंड = 5 × 7 × 11 × 13
= 5 × 7 × 11 × 13 Ans.

(v) 7429

Solution :- 7429

17 | 7429
---|--------
19 | 437 
---|--------
23 | 23 
---|--------
     1

∴ 7429 का अभाज्य गुणनखंड = 17 × 19 × 23 Answer.

2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है।
(i) 26 और 91

Solution :- 26 और 91

 2 | 26     और  7 | 91 
---|----        ---|----
13 | 13        13  | 13 
---|----        ---|----
     1               1

∴ 26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड:-

26 = 2¹ × 13¹ × 1¹
91 = 7² × 13¹ × 1¹

अब, LCM (26, 91) = 1¹ × 2¹ × 13¹ × 7²
= 1 × 2 × 13 × 49
= 182 Ans.

HCF (26, 91) = 13¹ × 1¹
= 13 × 1
= 13 Ans.

(ii) 510 और 92

Solution :- 510 और 92

 2 | 510    और   2 | 92 
---|----         ---|----
 3 | 255          2 | 46 
---|----         ---|----
 5 | 85          23 | 23 
---|----         ---|----
17 | 17             | 1  
---|----
   | 1

∴ 510 और 92 का अभाज्य गुणनखंड:

510 = 2 × 3 × 5 × 17 × 1
92 = 2 × 2 × 23 × 1

HCF (510, 92) = 2 × 1
= 2 Ans.

LCM (510, 92) = 2² × 3 × 5 × 17 × 1 × 23
= (4 × 3 × 5 × 17 × 23)
= 23460 Ans.

(iii) 336 और 54

Solution :- 336 और 54

 2 | 336     और   2 | 54 
---|----          ---|----
 2 | 168           3 | 27 
---|----          ---|----
 2 | 84            3 | 9  
---|----          ---|----
 2 | 42            3 | 3  
---|----          ---|----
 3 | 21              | 1  
---|----                       
 7 | 7                        
---|----                       
   | 1

∴ 336 और 54 का अभाज्य गुणनखंड:

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 1
= 2⁴ × 3 × 7 × 1

54 = 2 × 3 × 3 × 3 × 1
= 2 × 3³ × 1

HCF (336, 54) = 2 × 3 × 1
= 6 Ans.

LCM (336, 54) = 2⁴ × 3³ × 7 × 1
= 16 × 27 × 7 × 1
= 3024 Ans.

3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21

Solution :- 12, 15 और 21

2 | 12   3 | 15 और 3 | 21 
--|----  --|----    --|---
2 | 6    5 | 5      7 | 7  
--|----  --|----    --|---
3 | 3      | 1        | 1  
--|----                                                    
  | 1

∴ 12, 15 और 21 का अभाज्य गुणनखंड
12 = 2 × 2 × 3 × 1
= 2² × 3 × 1

15 = 3 × 5 × 1

21 = 3 × 7 × 1

HCF (12, 15, 21) = 3 × 1
= 3 Ans.

LCM (12, 15, 21) = 2² × 3 × 5 × 7 × 1
= 4 × 3 × 5 × 7 × 1
= 420 Ans.

(ii) 17, 23 और 29

Solution :- 17, 23 और 29

17 | 17  23 | 23 और 29|29
 --|---,  --|---     --|-- 
   | 1      | 1        |1

∴ 17, 23 और 29 का अभाज्य गुणनखंड
17 = 17 × 1

23 = 23 × 1

29 = 29 × 1

HCF (17, 23, 29) = 1 Ans.

LCM (17, 23, 29) = 17 × 23 × 29 × 1
= 11339 Ans.

(ii) 8, 9 और 25

Solution :- 8, 9 और 25

2 | 8    3 | 9  और 5 | 25 
--|----, --|----    --|----
2 | 4    3 | 3      5 | 5  
--|----  --|----    --|----
2 | 2      | 1        | 1  
--|----                                                    
  | 1

∴ 8, 9 और 25 का अभाज्य गुणनखंड :
= 2 × 2 × 2 × 1
= 2³ × 1

9 = 3 × 3 × 1
= 3² × 1

25 = 5 × 5 × 1
= 5² × 1

HCF (8, 9, 25) = 1 Ans.

LCM (8, 9, 25) = 2³ × 3² × 5² × 1
= 8 × 9 × 25 × 1
= 1800 Ans.

4. HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

Solution :- दिया है,
HCF (306, 657) = 9
LCM (306, 657) = ?

LCM (x, y) = दो संख्याओं का गुणनफल (x × y)
HCF (x, y)

LCM (306, 657) = (306 × 657) ÷ 9
= 34 × 657
= 22338 Answer.

5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

Solution :- यदि किसी n के लिए संख्या 6ⁿ शून्य पर समाप्त होगी तो वह 5 से विभाजित होगी।
अर्थात् 6ⁿ का अभाज्य गुणनखंड में 5 आना चाहिए।

6ⁿ = (2×3)ⁿ
= 2ⁿ×3ⁿ

इसके अभाज्य गुणनखंड में 5 का आना सम्भव नहीं है।
ऐसा कोई संख्या n नहीं है।
निष्कर्ष –
किसी भी n के लिए 6ⁿ कभी भी 0 पर समाप्त नहीं होगी।

6. व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 अभाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

Solution :- 7×11×13+13

= 13 (7 × 11 + 1)

अतः यह संख्या 13 से विभाजित होगी।
इसलिए यह संख्या भाज्य संख्या है।

तथा

= 7×6×5×4×3×2×1+5

= 5×(7×6×4×3×2×1+1)

अतः यह संख्या 5 से विभाजित होगी।
इसलिए यह संख्या भाज्य संख्या होगी।

7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान से और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

Solution :-

सोनि‍या द्वारा लिया गया समय = 18 मिनट

रवि द्वारा लिया गया समय = 12 मिनट

 2 | 18    और   2 | 12 
---|----        ---|----
 3 | 9           2 | 6 
---|----        ---|----
 3 | 3           3 | 3 
---|----        ---|----
   | 1             | 1

∴ 18 तथा 12 का अभाज्य गुणनखंड:
18 = 2 × 3² × 1

12 = 2 × 2 × 3 × 1
= 2² × 3 × 1

LCM (18, 12) = 2² × 3² × 1
= 4 × 9 × 1
= 36 Min Answer.

उदाहरण ( Examples )

उदाहरण 07: अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए l

Solution :- 96 और 404

 2 | 96     और    2 | 404 
---|----          ---|----
 2 | 48            2 | 202 
---|----          ---|----
 2 | 24              | 101  
---|----          
 2 | 12              
---|----           
 2 | 6              
---|----                       
 3 | 3                        
---|----                       
   | 1

∴ 96 का अभाज्य गुणनखंड
⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
⇒ 2⁵ × 3

तथा 404 का अभाज्य गुणनखंड
⇒ 2 × 2 × 101
⇒ 2² × 101

HCF (96, 404) = 2² = 4 Ans.

LCM (96, 404) = 2⁵ × 3 × 101
= 9696 Ans.

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